Lez #3+4 da Bohr a Shroedinger, simmetrie e funzioni d'onda

Siamo ripartiti dalle osservazioni di Rydberg, assorbimento ed emissione in seguito ad interazione con atomi che avvengono a frequenze (o lunghezze d'onda) con valori proporzionali a differenze di inversi di quadrati di numeri interi. Abbiamo quindi ripercorso la derivazione dell'atomo di Bohr, che fornisce una spiegazione quantitativa a queste osservazioni. In particolare permette di ricavare la costante R collegando le frequenze spettrali osservate a salti tra i livelli energetici dell'atomo, attraverso la costante di Planck. Il tutto con un semplice modello di orbita atomica stabile e momento angolare quantizzato a multipli di accatagliato. Abbiamo infine commentato la probabilità che un atomo si trovi in uno stato eccitato a temperatura ambiente, e ad una temperature dieci volte superiore. 

Abbiamo quindi ragionato sulle conversioni tra unita' di misura e modi per esprimere l'energia (frequenza, numeri d'onda, eV, Kelvin, unita' atomiche). Per casa correggete la slide sulle conversioni, da me ricavata approssimando la velocita' della luce a 3e8 m/s.

Abbiamo quindi introdotto l'equazione di Shrodinger, richiamando la conservazione del momento angolare totale e come questa detti la struttura di autovalori e autostati, espressi in cordinate sferiche. In particolare come si si aspetti l'indipendenza da m (autovalore di Lz) degli autovalori energetici, che dovrebbero invece dipendere da l. Questo non accade per la particolare dipendenza 1/r del potenziale Coulombiano (che implica l'esistenza di un ulteriore vettore conservato, Laplace-Runge-Lenz). Attenzione al legame tra simmetria <--> degenerazione. Link molto utile a riguardo qui.

Abbiamo richiamato la struttura delle autofunzioni e visto come la probabilita' (proporzionale alla densita' di carica elettronica) sia legata alla funzione d'onda: dal punto di vista radiale non basta quadrare la parte corrispondente dell'autofunzione ma va considerato un fattore r^2 nel passaggio da dV a dr quando si integra sull'angolo solido.

Per la parte angolare abbiamo visto possibili rappresentazioni grafiche: una possibilità e' guardare il modulo quadro dell'armonica sferica, per cui scompare la parte angolare in phi e resta solo una funzione di theta rappresentabile come curva su un piano la cui distanza dal centro è proporzionale alla densità di probabilità elettronica. Un'altra possibilita' è rappresentare l'armonica sferica vera e propria (quindi una quantità complessa) attraverso una curva di livello (sul piano della lavagna) per il modulo e poi il valore della fase mediante un colore al variare di phi. 

Lez #1+2 Crisi della fisica classica e spettri atomici, atomo di Bohr

 Abbiamo discusso cosa ci si aspetta da questo corso e dato alcune regole/informazioni pratiche (vedi classroom).

Siamo quindi passati a discutere gli esperimenti storici nei quali la meccanica quantistica gioca un ruolo cruciale per l'interpretazione dell'interazione radiazione materia. In particolare l'effetto fotoelettrico, che dimostra la natura corpuscolare della luce (aspetti cruciali sono la dipendenza del potenziale di arresto dalla frequenza della luce e NON dalla sua intensita', e la dipendenza della corrente elettrica dall'intensità della luce, e l'esperimento di Frank-Hertz, che prova l'esistenza di interazioni anelastiche con scambi di energia "quantizzati" con la struttura atomica (importante qui capire perche' si osservano spot luminosi in alcuni punti del tubo, in funzione del potenziale applicato). Importante capire anche la natura dei massimi e dei minimi e la loro relazione con urti elastici/anelastici. Buon riferimento qui.

Abbiamo poi misurato in classe lo spettro di emissione di diverse sorgenti: una lampada a filamento (oggetto incandescente, spettro continuo simile a corpo nero, suggerisco di riguardare la derivazione a chi non la padroneggia), gas a bassa pressione (emissione spontanea, tipo Frank-Hertz), led cellulare (stato solido, transizione in emissione spontanea tra bande, ci torneremo quando faremo solidi), laser (emissione stimolata).

Siamo partiti dalle osservazioni di Rydberg, assorbimento ed emissione in seguito ad interazione con atomi che avvengono a frequenze (o lunghezze d'onda) con valori proporzionali a differenze di inversi di quadrati di numeri interi.

Abbiamo quindi ripercorso la derivazione dell'atomo di Bohr, che fornisce una spiegazione quantitativa a queste osservazioni. In particolare permette di ricavare la costante R collegando le frequenze spettrali osservate a salti tra i livelli energetici dell'atomo, attraverso la costante di Planck. Il tutto con un semplice modello di orbita atomica stabile e momento angolare quantizzato a multipli di accatagliato.

Programma del corso 2024

Fisica Atomica:

Esperimenti di inizio novecento: richiamo su Rutherford, Compton,  Millikan,  Davisson–Germer, Stern-Gerlach, enfasi su Frank-Hertz ed Effetto  Fotoelettrico. Spettri di emissione di lampade ad incandescenza e a gas. Unità di misura SI vs atomiche. Osservazioni di Rydberg, atomo di Bohr. Atomo di Idrogeno: Equazione di Shroedinger, autovalori, autofunzioni, simmetrie e degenerazione. Struttura fine: trattamento perturbativo e rimozione delle degenerazioni. Interazione radiazione materia: Lagrangiana, Hamiltoniana, ordine più basso, trattamento perturbativo dipendente dal tempo. Approssimazione di dipolo. Assorbimento ed emissione stimolata. Emissione spontanea, coefficienti di Einstein e giustificazione da seconda quantizzazione. Polarizzazione della luce e regole di selezione, combinazione dei momenti angolari. Idrogenoidi in campi esterni: campo elettrico statico, rimozione di metastabilità del 2s, campo magnetico statico e diversi regimi rispetto a intensità spin-orbita (campo forte, Paschen-Bach, Zeeman anomalo), regole di selezione. Atomi a più elettroni: screening e approccio alla Hartree, trend delle energie di ionizzazione successive, simmetrizzazione mediante determinante di Slater, alcalini, Z efficace. Riempimento di orbitali, accoppiamento dei momenti angolari L-S e jj, regole di selezione. Configurazioni e termini atomici, degenerazione, regole di Hund, elettroni equivalenti e non. Atomi a due elettroni: struttura dei livelli ed eccitazione in assenza di interazione e-e. Simmetria della funzione d’onda, interazione di scambio e rimozione della degenerazione in l. Ortoelio e paraelio, calcoli perturbativo e variazionale.

Fisica Molecolare:

Problema generale di Shroedinger per una molecola. Separazione dinamica elettronica e atomica, approssimazione di Born-Oppenheimer. Molecole biatomiche: Momento angolare elettronico (e sua proiezione assiale), nucleare e totale, “buoni” numeri quantici. Hamiltoniana dei nuclei: distorsione centrifuga, accoppiamento roto-vibrazionale, anarmonicità, dissociazione. Regole di selezione per transizioni roto-vibrazionali ed elettroniche di molecole omonucleari e non. Principio di Frank-Condon, verticalità e transizioni più probabili. Crossing di stati elettronici, dinamica non adiabatica. Hamiltoniana elettronica: Ione idrogeno molecolare. Casi a più elettroni, orbitali molecolari LCAO e loro riempimento. Simmetrie e termini molecolari. Degenerazione, stati elettronici di idrogeno molecolare e alkalini. Configurazioni elettroniche e termini molecolari. Dimero eteronucleare e natura ionico vs covalente del legame. Trimero omonucleare lineare e triangolare. Effetto Raman: rotazionale e vibrazionale, regole di selezione e confronto con l’assorbimento. Molecole poliatomiche: simmetrie, equipartizione, calore specifico. Ibridizzazione e lone pair.

 Introduzione alla fisica dei solidi:

Dal polimero ai solidi. Catena lineare, limite di N grande, tight binding, comparsa di bande di energia e zone di Brillouin, dipendenza delle bande dal tipo di orbitale e dal passo reticolare, casi di più orbitali o più atomi per sito. Apertura delle gap da considerazioni di scattering Bragg. Energia di Fermi, riempimento delle bande, “superfici” di Fermi nei casi 1D, 2D e 3D, carattere metallico e isolante. Forma delle bande e conducibilità elettrica, massa efficace, riflettività dei metalli. Connessione tra componenti di Fourier del potenziale periodico e larghezza delle gap. Elettrone libero, modello di Drude e sue limitazioni (calore specifico, libero cammino medio, conducibilità elettrica). Modello di Sommerfeld, densità di stati in 1D e 3D, statistica di Fermi, calore specifico elettronico.