Lez #13+14 Atomi in campo elettrico o magnetico statico

 Abbiamo visto la soluzione dell'atomo di idrogeno con campo elettrico costante (nello spazio e nel tempo) per via perturbativa. In particolare per i livelli n=2 e n=3 (lo stato fondamentale non viene toccato al primo ordine per questioni di simmetria), in cui si ha mixing di funzioni d'onda con diverso l. 

Siamo quindi passati al problema della metastabilita' del 2s. Questa parte e' discussa bene sul Brasden, ma non e' ovvio quantificare l'effetto. Possiamo scrivere il sistema di equazioni differenziali che genera le soluzioni trovate con la teoria perturbativa, aggiungendo termini diagonali che rappresentano i tempi di decadimento. Con un campo dell'ordine di 10^5 V/m troviamo effettivamente un decadimento delle oscillazioni di popolazioni su un tempo che e' il doppio di quello del canale 2p. Cosa succede preparando il sistema inizialmente nel 2p e accendendo il campo elettrico? Il tempo di decadimento verso 1s si modifica o no? Provate a rispondere risolvendo il sistema di equazioni differenziali, eventualmente utilizzando lo script matlab (classroom).

Abbiamo trattato l'atomo idrogenoide in campo magnetico costante nello spazio e nel tempo. Ci siamo concentrati sul termine paramagnetico. Abbiamo quindi analizzato i due regimi di:

• campo esterno "fortissimo" (sempre nel limite paramegnetico, no diamagnetismo): SO trascurabile, vanno bene le autofunzioni dell'imperturbata. Splitting su m_l, uno per ogni stato di spin. Degenerazione tra stati di spin opposto distanti abs(m_l-m'_l)=2. Le regole di selezione sono le solite, fissati i numeri quantici principali n,n'si generano solo tripletti, in approssimazione di dipolo non sono ammesse transizioni tra stati di spin diverso (l'operatore dipolo non tocca lo spin).
• campo esterno "forte": tratto lo SO in modo perturbativo rispetto al caso precedente. La perturbazione e' nulla sugli stati degeneri fuori diagonale di cui sopra, le correzioni sono solo sui termini diagonali. Dunque teoria delle perturbazioni non degenere. Vengono rimosse le degenerazioni residue del caso precedente.
• campo esterno "debole": lo tratto in modo perturbativo rispetto allo SO. Debbo quindi usare gli autostati di struttura fine. La perturbazione ha un termine in Jz per il quale questi autostati vanno bene, ma non vanno bene per il termine Sz. Usiamo quindi il teorema di Wigner-Eckart per ricondurci al calcolo di elementi di matrice di Sz nalla base del momento angolare totale J.

Attenzione a come si collegano gli schemi estremi campo debole e forte al variare del campo megnetico, e alle diverse degenerazioni residue nei due limiti.

Lez #11+12: Interazione radiazione materia IV (regole di selezione e polarizzazione della luce)

 Abbiamo osservato come la regola di selezione su m sia legata allo stato di polarizzazione circolare o lineare della luce emessa. Abbiamo visto come per la conservazione del momento angolare totale del sistema la luce polarizzata circolarmente possegga un momento angolare proprio analogo a quello dello spin elettronico, ma intero (S=1) e senza proiezione ms=0. Abbiamo visto come con k nel piano xy possa aversi luce pol lin lungo z associata a transizioni Dm=0, oppure luce polarizzata linearmente nel piano xy. In questo secondo caso contribuiscono ugualmente sia casi Dm=+1 che Dm=-1, quindi non c'e' una associazione diretta.

In particolare abbiamo osservato come nel caso di luce polarizzata linearmente lungo x, che si propaga lungo y, si ha una sovrapposizione 50% di fotoni circolari L ed R con momento angolare della LUNGO y. E' facile mostrare come questo stato abbia effettivamente media nulla lungo z, come deve, proprio perchè la situazione è riconducibile a eventi in cui la materia cambia Dm=+1 o Dm=-1 con uguale probabilità. Questa cosa si verifica facilmente con l'algebra dei momenti angolari 3x3, ovvero per stati con S=1 e proiezioni solo +1 -1 (i fotoni non possono avere elicità nulla). Provateci (vedi script matlab su classroom)!

Lez #10: Interazione radiazione materia III (emissione spontanea)

 Abbiamo inizialmente calcolato la probabilità di transizione per emissione stimolata/assorbimento per dipoli distribuiti in modo random, il che implica mediare sulle orientazioni del vettore D distribuito in modo random (equiprobabile) sulla sfera unitaria (fattore 1/3). 

Quanto visto fin qui (interazione con radiazione esterna produce assorbimento ed emissione equiprobabili) è incompatibile con la distribuzione di Boltzman che governa la popolazione dei livelli all'equilibrio. Deve quindi esistere un processo aggiuntivo indipendente dal campo che favorisce le transizioni verso il basso.

Abbiamo ricavato la relazione tra la probabilità spontanea e stimolata attraverso i coefficienti di Einstein e utilizzato la densità di stati di corpo nero per integrare la possibile emissione spontanea su angoli e frequenza. C'e' poi da azzerare il numero di fotoni, lo si fa quantizzando il campo sostituendo a e a+ ai coefficienti scalari nell'espressione del potenziale vettore. In questo modo il termine quadratico di campo che compare nella probabilita' di transizione diventa n+1 nel caso dell'emissione e n nel caso dell'assorbimento, a causa delle regole di commutazione [a,a*]). Quindi azzerando il numero di fotoni (per passare dai contributi stimolati a quello spontaneo) sopravvive proprio il termine di emissione spontanea.  

Lez #8+9 Interazione radiazione materia II

 Abbiamo richiamato l'espressione per il b-esimo coefficiente dipendente dal tempo ottenuta la scorsa lezione. L'abbiamo applicata al caso di un potenziale vettore policromatico (integrale sulle frequenze), ragionando sul caso di una somma finita (quindi potenziale periodico, serie di Fourier) ottenendo (modulo quadro) l'espressione della probabilita' di transizione e dell'elemento di matrice coinvolto. Un primo importante risultato e' che l'integrazione in tempo porta alla condizione (delta di Dirac) secondo la quale si ha l'interazione solo se lo spettro del campo ha componente a frequenza corrispondente all'energia pari al salto tra livelli coinvolti (positivo=assorbimento, negativo=emissione), che si puo' interpretare come conservazione dell'energia. Questo formalizza di fatto la grande intuizione di uno dei postulati di Bohr: un campo esterno puo' cedere energia all'atomo (assorbimento) oppure acquisirla (emissione) con la stessa probabilita'. 

Attenzione al passaggio della doppia integrazione in omega, abbiamo discusso i problemi del Bransden/dispense (dimensioni, ipotesi non necessaria delle fasi random), fate riferimento alle slides trattando il caso della doppia somma. 

Abbiamo infine visto l'approssimazione di dipolo.

Lez #6+7 Effetto SO, Recap struttura fine, Radiazione materia I

 Abbiamo esaminato l'impatto della struttura fine sui livelli dell'idrogeno, con particolare riguardo alla modifica della degenerazione nei casi n=2 e n=3. Abbiamo quindi sottolineato come l'espressione totale della struttura fine dipenda solo da j e corrisponda al primo ordine dello sviluppo della soluzione di Dirac nel parametro \alpha^2.

Siamo quindi passati alla formalizzazione dell'interazione radiazione materia. Partendo dalle equazioni di Maxwell abbiamo richiamato la soluzione per il potenziale vettore nella gauge di Coulomb. Abbiamo quindi richiamato la lagrangiana in presenza di A e la corrispondente hamiltoniana (NB la divergenza nulla del vettore (classico) A permette di riscrivere i due termini cross in un unico termine, si dimostra applicando l'operatore (quantistico) gradiente al vettore A moltiplicato per la generica fuzione d'onda. Considerando anche A come operatore questo implica che p ed A commutano). Esercitatevi a verificare che la lagrangiana fornita sia effettivamente quella giusta (risolvendo le eq. di Eulero dovete trovare la corretta espressione della forza in campo elettromagnetico, fatto sulle dispense) e a ricavare la corrispondente hamiltoniana. Attenzione al legame tra l'operatore p, il gradiente, e il corrispondente momento classico mv. 

La prima approssimazione consiste nel trascurare i termini quadratici nel potenziale vettore nell'hamiltoniana. 

Abbiamo quindi applicato la teoria perturbativa dipendente dal tempo al primo ordine. Utilizzando come base completa quella degli autostati di H_0 e ipotizzando di trovarci nel ground state prima dell'arrivo della perturbazione, si ottiene una espressione in forma differenziale per i coefficienti degli altri livelli sui quali il sistema si distribuisce nel tempo. 

Lez #5 Struttura fine

Abbiamo discusso la presenza di effetti relativistici aggiuntivi rispetto all'equazione di Shrodinger che possono essere trattati in via perturbativa. In particolare abbiamo ricavato: 

• un termine come sviluppo dell'espressione relativistica per il contributo cinetico all'Hamiltoniana. C'e' degenerazione quindi andrebbero valutati tutti gli elementi di matrice con stesso n e diversi l e m ma poichè la perturbazione dipende solo da r non riguarda le armoniche sferiche e la loro ortogonalità riduce il calcolo ai soli termini diagonali (insomma la perturbazione è diagonale).  La correzione rimuove la degenerazione su l ed e' sempre negativa. 
• Abbiamo introdotto il termine di Darwin, osservando come in modo euristico sia riconducibile alla non località del potenziale, ovvero all'integrazione del potenziale sulla dimensione finita dell'elettrone. La correzione riguarda solo gli stati con funzione d'onda non nulla nell'origine (quindi quelli senza potenziale centrifugo, ovvero l=0) ed è sempre positiva (alza i livelli s)
• Abbiamo ricavato la correzione SO classicamente come interazione tra il campo generato dalla rotazione relativa del protone intorno al nucleo e momento magnetico intrinseco dell'elettrone. Con questa derivazione ci sono due fattori 2 che non vengono catturati classicamente ma che si compensano: il fattore giromagnetico dell'elettrone e un due nel calcolo dell'energia magnetica. La correzione ha una parte spaziale dipendente da n ed l, ma il termine LS mischia gli stati "adatti" a diagonalizzare l'Hamiltoniana imperturbata (Shrodinger). Di conseguenza per la correzione totale buoni numeri quantici sono il momento angolare totale J, la sua proiezione Jz, L ed S, MA NON LE LORO PROIEZIONI Lz ed Sz.

Tutti i passaggi per il calcolo degli integrali 1/r, 1/r^2 e 1/r^3 sono nelle dispense. Suggerisco inoltre di guardare questa dissertzione per l'introduzione del termine di Darwin e per il confronto finale tra la soluzione dell'equazione di Dirac, il suo svilupo di Taylor e la soluzione con correzioni perturbative all'equazione di Shrodinger.

Lez #3+4 da Bohr a Schroedinger, simmetrie e funzioni d'onda

Siamo ripartiti dalle osservazioni di Rydberg, assorbimento ed emissione in seguito ad interazione con atomi che avvengono a frequenze (o lunghezze d'onda) con valori proporzionali a differenze di inversi di quadrati di numeri interi. Abbiamo quindi ripercorso la derivazione dell'atomo di Bohr, che fornisce una spiegazione quantitativa a queste osservazioni. In particolare permette di ricavare la costante R collegando le frequenze spettrali osservate a salti tra i livelli energetici dell'atomo, attraverso la costante di Planck. Il tutto con un semplice modello di orbita atomica stabile e momento angolare quantizzato a multipli di accatagliato. Abbiamo infine commentato la probabilità che un atomo si trovi in uno stato eccitato a temperatura ambiente, e ad una temperature dieci volte superiore. 

Abbiamo quindi ragionato sulle conversioni tra unita' di misura e modi per esprimere l'energia (frequenza, numeri d'onda, eV, Kelvin, unita' atomiche). Per casa correggete la slide sulle conversioni, da me ricavata approssimando la velocita' della luce a 3e8 m/s.

Abbiamo quindi introdotto l'equazione di Schroedinger, richiamando la conservazione del momento angolare totale e come questa detti la struttura di autovalori e autostati, espressi in cordinate sferiche. In particolare come si si aspetti l'indipendenza da m (autovalore di Lz) degli autovalori energetici, che dovrebbero invece dipendere da l. Questo non accade per la particolare dipendenza 1/r del potenziale Coulombiano (che implica l'esistenza di un ulteriore vettore conservato, Laplace-Runge-Lenz). Attenzione al legame tra simmetria <--> degenerazione. Link molto utile a riguardo qui.

Abbiamo richiamato la struttura delle autofunzioni e visto come la probabilita' (proporzionale alla densita' di carica elettronica) sia legata alla funzione d'onda: dal punto di vista radiale non basta quadrare la parte corrispondente dell'autofunzione ma va considerato un fattore r^2 nel passaggio da dV a dr quando si integra sull'angolo solido.

Per la parte angolare abbiamo visto possibili rappresentazioni grafiche: una possibilità e' guardare il modulo quadro dell'armonica sferica, per cui scompare la parte angolare in phi e resta solo una funzione di theta rappresentabile come curva su un piano la cui distanza dal centro è proporzionale alla densità di probabilità elettronica. Un'altra possibilita' è rappresentare l'armonica sferica vera e propria (quindi una quantità complessa) attraverso una curva di livello (sul piano della lavagna) per il modulo e poi il valore della fase mediante un colore al variare di phi.