Lez #5 Struttura fine

Abbiamo discusso la presenza di effetti relativistici aggiuntivi rispetto all'equazione di Shrodinger che possono essere trattati in via perturbativa. In particolare abbiamo ricavato: 

• un termine come sviluppo dell'espressione relativistica per il contributo cinetico all'Hamiltoniana. C'e' degenerazione quindi andrebbero valutati tutti gli elementi di matrice con stesso n e diversi l e m ma poichè la perturbazione dipende solo da r non riguarda le armoniche sferiche e la loro ortogonalità riduce il calcolo ai soli termini diagonali (insomma la perturbazione è diagonale).  La correzione rimuove la degenerazione su l ed e' sempre negativa. 
• Abbiamo introdotto il termine di Darwin, osservando come in modo euristico sia riconducibile alla non località del potenziale, ovvero all'integrazione del potenziale sulla dimensione finita dell'elettrone. La correzione riguarda solo gli stati con funzione d'onda non nulla nell'origine (quindi quelli senza potenziale centrifugo, ovvero l=0) ed è sempre positiva (alza i livelli s)
• Abbiamo ricavato la correzione SO classicamente come interazione tra il campo generato dalla rotazione relativa del protone intorno al nucleo e momento magnetico intrinseco dell'elettrone. Con questa derivazione ci sono due fattori 2 che non vengono catturati classicamente ma che si compensano: il fattore giromagnetico dell'elettrone e un due nel calcolo dell'energia magnetica. La correzione ha una parte spaziale dipendente da n ed l, ma il termine LS mischia gli stati "adatti" a diagonalizzare l'Hamiltoniana imperturbata (Shrodinger). Di conseguenza per la correzione totale buoni numeri quantici sono il momento angolare totale J, la sua proiezione Jz, L ed S, MA NON LE LORO PROIEZIONI Lz ed Sz.

Tutti i passaggi per il calcolo degli integrali 1/r, 1/r^2 e 1/r^3 sono nelle dispense. Suggerisco inoltre di guardare questa dissertzione per l'introduzione del termine di Darwin e per il confronto finale tra la soluzione dell'equazione di Dirac, il suo svilupo di Taylor e la soluzione con correzioni perturbative all'equazione di Shrodinger.