Lez #62+63 Solidi II

  Ripartendo dal modello di Sommerfeld, abbiamo introdotto l'effetto della periodicità traslazionale. Questo implica il confinamento degli stati entro una zona di ampiezza finita (zona di Brillouin), qualnque qualunque energia appartenente alla parabola (dispersione energetica della particella libera) va vista riportandola in prima zona. Questo crea quindi diverse "bande" (piu' valori di E per uno stesso k) in analogia all'approccio LCAO.

Per k uguali a quelli del bordo zona l'elettrone quasi libero subisce riflessioni che interferiscono costruttivamente, dando luogo ad onde stazionarie. Si ottengono due soluzioni che prevedono accumulo di carica rispettivamente massimo e minimo in corrispondenza dei siti reticolari. Questo fa si che le due soluzioni stazionarie, degeneri in assenza di potenziale, risentano in modo differente di un potenziale periodico reticolare (negativo), che rimuove la degenerazione aprendo delle gap ad n\pi/a.

Abbiamo infine introdotto la massa efficace e visto come questo concetto, insieme alle bande, permette di discriminare la risposta elettrica e ottica di diversi materiali (esempio perchè il rame conduce elettricamente meglio del ferro, perchè metalli come argento e oro riflettono solo al di sopra di una certa lunghezza d'onda).

Abbiamo quindi introdotto la definizione del reticolo reciproco, dimostrando come l'apertura delle gap avvenga quando la variazione di vettore d'onda a seguito della diffrazione reticolare corrisponde ad un qualunque vettore del reticolo reciproco.

Infine abbiamo visto come dato un generico potenziale reticolare (quindi periodico), l'entita' delle gap a bordo zona, e delle distanze tra bande adiacenti a centro zona, sia dato dalle componenti di fourier dispari e pari (la dimostrazione l'abbiamo fatta per un potenziale dotato di una sola armonica).

Lez #60+61 Solidi I

 Abbiamo ripreso l'espressione per la banda energetica di un anello di N atomi, estendendola al caso di N grande (ma sempre finito!). Con questa espressione abbiamo calcolato la densita' degli stati elettronici, e quindi l'energia di Fermi a T=0 (energia del livello piu' alto occupato). Abbiamo quindi visto come questa corrisponda ad un punto, una linea o una superficie nei casi 1D, 2D, 3D, rispettivamente. Attenzione al concetto di zona di Brillouin (esistenza di un k_max), che viene dalla periodicità spaziale, analogo al problema dell'aliasing nelle trasformate di fourier di un segnale discreto. L'estensione finita del sistema detta invece la spaziatura dei k, e questo e' vero a prescindere dall'esistenza di una periodicità (NON si trratta di quantizzazione, ma di discretizzazione dei modi, problema della corda vibrante)

Abbiamo poi introdotto il piu' semplice modello, classico, per la descrizione di un solido, il modello di Drude. Il modello si basa sulla teoria cinetica e fa uso della distribuzione di MB. Abbiamo illustrato gli aspetti che non riesce a descrivere. In particolare, il libero cammino medio, la capacità termica (per un ripasso suggerisco questo link), e il rapporto tra conducibilità termica ed elettrica.

Abbiamo discusso il modello di Sommerfeld, che fa uso dell'equazione di Shrodinger per la particella libera confinata e della statistica di Fermi Dirac, che entra in gioco a T finita. Abbiamo calcolato la densità di stati in 1D e 3D e visto come questo modello descriva correttamente la capacità termica e il libero cammino medio.

Su questa parte suggerisco di seguire il testo di Ashcroft-Mermin., la parte Drude e Sommerfeld si trova nei primo due capitoli (incluso lo sviluppo per il calcolo accurato della capacità termica elettronica). Per la capacità termica guardate anche qui.