Lez #5 Struttura Fine

 Abbiamo discusso la presenza di effetti relativistici aggiuntivi rispetto all'equazione di Shrodinger che possono essere trattati in via perturbativa. In particolare abbiamo ricavato un termine come sviluppo dell'espressione relativistica per il contributo cinetico all'Hamiltoniana, e uno classicamente come accoppiamento tra il momento magnetico associato allo spin semintero dell'elettrone e il campo magnetico generato dal moto relativo delle cariche elettrone-nucleo (accoppiamento spin-orbita, c'e' un problema di fattori 2 (spin) e precessione (1/2) che classicamente non spiegabili ma che si compensano). La derivazione rigorosa del terzo termine (Darwin) non e' ovvia, per una interpretazione euristica si veda la tesina suggerita.

Abbiamo quindi applicato la teoria delle perturbazioni degeneri (l'energia dell'H imperturbata dipende solo da n, le autofunzioni da tre numeri quantici). In definitiva per relativistico e Darwin sono non nulli solo i termini non-diagonali. Le dipendenze spaziali delle perturbazioni non toccano infatti le armoniche sferiche, la cui ortogonalità annulla appunto i termini non diagonali. I contributi relativistico p^4 e Darwin, risultano dipendere da n ed l (quest'ultimo e' non nullo solo per l=0, unico caso in cui e' ammessa densita' di probabilita' non nulla nell'origine). Lo SO ha una parte spaziale dipendente da n ed l, ma LS mischia gli stati "adatti" a diagonalizzare l'Hamiltoniana imperturbata (Shrodinger). Di conseguenza per la correzione totale buoni numeri quantici sono il momento angolare totale J, la sua proiezione Jz, L ed S, MA NON LE LORO PROIEZIONI Lz ed Sz.

Tutti i passaggi sono nelle dispense. Suggerisco inoltre di guardare questa dissertzione per l'introduzione del termine di Darwin e per il confronto finale tra la soluzione dell'equazione di Dirac, il suo svilupo di Taylor e la soluzione con correzioni perturbative all'equazione di Shrodinger.

Lez#3+4 Equazione di Shroedinger per l'atomo di idrogeno

Abbiamo rivisto rapidamente i contenuti della lezione precedente, e quindi ragionato sulle conversioni tra unita' di misura e modi per esprimere l'energia (frequenza, numeri d'onda, eV, Kelvin, unita' atomiche). Per casa correggete la slide sulle conversioni, da me ricavata approssimando la velocita' della luce a 3e8 m/s.

Abbiamo quindi introdotto l'equazione di Shrodinger, richiamando la conservazione del momento angolare totale e come questa detti la struttura di autovalori e autostati, espressi in cordinate sferiche. In particolare come si si aspetti l'indipendenza da m (autovalore di Lz) degli autovalori energetici, che dovrebbero invece dipendere da l. Questo non accade per la particolare dipendenza 1/r del potenziale Coulombiano (che implica l'esistenza di un ulteriore vettore conservato, Laplace-Runge-Lenz). Attenzione al legame tra simmetria <--> degenerazione. Link molto utile a riguardo qui.

Abbiamo quindi sottolineato come la probabilita' (densita' di carica elettronica) sia legata alla funzione d'onda, ATTENZIONE: dal punto di vista radiale non basta quadrare la parte corrispondente dell'autofunzione ma va considerato un fattore r^2 nel passaggio da dV a dr quando si integra sull'angolo solido.

Abbiamo visto la forma delle armoniche sferiche e come queste siano in generale complesse. Per un certo autovalore energetico e' possibile ricombinarle in forma reale. Per un dato valore di l la simmetria sferica del problema si ritrova sommando le densita' di probabilita' su tutti gli m.

Riflettere su nodi della parte radiale, armoniche sferiche e ortogonalita' delle funzioni d'onda. 

Lez #1+2 Crisi della fisica classica e atomo di Bohr

Abbiamo discusso cosa ci si aspetta da questo corso e dato alcune regole/informazioni pratiche (vedi classroom).

Siamo quindi passati a discutere gli esperimenti storici nei quali la meccanica quantistica gioca un ruolo cruciale per l'interpretazione dell'interazione radiazione materia. In particolare l'effetto fotoelettrico, che dimostra la natura corpuscolare della luce (aspetti cruciali sono la dipendenza del potenziale di arresto dalla frequenza della luce e NON dalla sua intensita', e la dipendenza della corrente elettrica dall'intensità della luce, buon riferimento qui: https://www.fe.infn.it/u/ciullo/Intro_Lab/effetto_fotoelettrico.pdf) e l'esperimento di Frank-Hertz, che prova l'esistenza di interazioni anelastiche con scambi di energia "quantizzati" con la struttura atomica (importante qui capire perche' si osservano spot luminosi in alcuni punti del tubo, in funzione del potenziale applicato). Importante capire anche la natura dei massimi e dei minimi e la loro relazione con urti elastici/anelastici. Buon riferimento qui.

Abbiamo poi misurato in classe lo spettro di emissione di diverse sorgenti: una lampada a filamento (oggetto incandescente, spettro continuo simile a corpo nero, suggerisco di riguardare la derivazione a chi non la padroneggia), gas a bassa pressione (emissione spontanea, tipo Frank-Hertz), led cellulare (stato solido, transizione in emissione spontanea tra bande, ci torneremo quando faremo solidi), laser (emissione stimolata).

Siamo partiti dalle osservazioni di Rydberg, assorbimento ed emissione in seguito ad interazione con atomi che avvengono a frequenze (o lunghezze d'onda) con valori proporzionali a differenze di inversi di quadrati di numeri interi. Abbiamo quindi ripercorso la derivazione dell'atomo di Bohr, che fornisce una spiegazione quantitativa a queste osservazioni. In particolare permette di ricavare la costante R collegando le frequenze spettrali osservate a salti tra i livelli energetici dell'atomo, attraverso la costante di Planck. Il tutto con un semplice modello di orbita atomica stabile e momento angolare quantizzato a multipli di accatagliato. Abbiamo infine commentato la probabilità che un atomo si trovi in uno stato eccitato a temperatura ambiente, e ad una temperature dieci volte superiore. 

Se avete domande chiedete pure commentando questo post.