Lez #10 Regole di selezione e polarizazione del fotone

Abbiamo osservato come la regola di selezione su m sia legata allo stato di polarizzazione circolare o lineare della luce emessa. Abbiamo visto come per la conservazione del momento angolare totale del sistema la luce polarizzata circolarmente possegga un momento angolare proprio analogo a quello dello spin elettronico, ma intero (S=1) e senza proiezione ms=0. Abbiamo visto come con k nel piano xy possa aversi luce pol lin lungo z associata a transizioni Dm=0, oppure luce polarizzata linearmente nel piano xy. In questo secondo caso contribuiscono ugualmente sia casi Dm=+1 che Dm=-1, quindi non c'e' una associazione diretta.

In particolare abbiamo osservato come nel caso di luce polarizzata linearmente lungo x, che si propaga lungo y, si ha una sovrapposizione 50% di fotoni circolari L ed R con momento angolare della LUNGO y. E' facile mostrare come questo stato abbia effettivamente media nulla lungo z, come deve, proprio perchè la situazione è riconducibile a eventi in cui la materia cambia Dm=+1 o Dm=-1 con uguale probabilità. Questa cosa si verifica facilmente con l'algebra dei momenti angolari 3x3, ovvero per stati con S=1 e proiezioni solo +1 -1 (i fotoni non possono avere elicità nulla). Provateci!

Abbiamo infine visto come la regola di selezione su l si ripercuota su j nel caso in cui consideriamo la struttura fine. In particilare sono ammissibili anche transizioni Dj=0 (oltre a +1 e -1) perche' compatibili con Dl=+/-1

Lez #8+9 Interazione radiazione materia II

 Attenzione al passaggio della doppia integrazione in omega, abbiamo discusso i problemi del Bransden/dispense (dimensioni, ipotesi delle fasi random), fate riferimento alle slides. Abbiamo quindi discusso l'approssimazione di dipolo e calcolato la probabilità di transizione per emissione stimolata/assorbimento per luce non polarizzata, il che implica mediare sulle orientazioni del vettore polarizzazione distribuito in modo random (equiprobabile) sulla sfera unitaria. 

Quanto visto fin qui (interazione con radiazione esterna produce assorbimento ed emissione equiprobabili) è incompatibile con la distribuzione di Boltzman che governa la popolazione dei livelli all'equilibrio. Deve quindi esistere un processo aggiuntivo indipendente dal campo che favorisce le transizioni verso il basso.

Abbiamo ricavato la relazione tra la probabilità spontanea e stimolata attraverso i coefficienti di Einstein e utilizzato la densità di stati di corpo nero per integrare la possibile emissione spontaena su angoli e frequenza. C'e' poi da azzerare il numero di fotoni nell'espressione del potenziale vettore (termine emissione N+1 mentre assorbimento N, a causa delle regole di commutazione [a,a*])  

Siamo quindi passati a valutare le regole di selezione, ovvero le condizioni sugli indici l,m di partenza e arrivo che annullano la probabilita' di transizione. Esprimendo l'elemento di matrice come prodotto scalare tra componenti sferiche, si trovano relazioni precise tra i numeri quantici m ed l degli stati di partenza e di arrivo. La regola su m segue dalla condizione di fase nulla per il termine immaginario delle armoniche (se la fase è diversa da zero l'integrale tra 0,2pi è sempre nullo).

Lez #6+7 Interazione radiazione materia I

Abbiamo inizialmente riassunto l'impatto della struttura fine sui livelli dell'idrogeno, con particolare riguardo alla modifica della degenerazione. 

Siamo quindi passati alla formalizzazione dell'interazione rediazione materia. Partendo dalle equazioni di Maxwell abbiamo richiamato la soluzione per il potenziale vettore nella gauge di Coulomb. Abbiamo quindi richiamato la lagrangiana in presenza di A e la corrispondente hamiltoniana (NB la divergenza nulla del vettore (classico) A permette di riscrivere i due termini cross in un unico termine, si dimostra applicando l'operatore (quantistico) gradiente al vettore A moltiplicato per la generica fuzione d'onda. Consderando anche A come operatore questo implica che p ed A commutano). Esercitatevi a verificare che la lagrangiana fornita sia effettivamente quella giusta (risolvendo le eq. di Eulero dovete trovare la corretta espressione della forza in campo elettromagnetico, fatto sulle dispense) e a ricavare la corrispondente hamiltoniana. Attenzione al legame tra l'operatore p, il gradiente, e il corrispondente momento classico mv. 

La prima approssimazione consiste nel trascurare i termini quadratici nel potenziale vettore nell'hamiltoniana. 

Abbiamo quindi applicato la teoria perturbativa dipendente dal tempo al primo ordine in presenza di un potenziale vettore policromatico, ottenendo l'espressione della probabilita' di transizione e dell'elemento di matrice coinvolto. Un primo importante risultato e' che l'integrazione in tempo porta alla condizione (delta di Dirac) secondo la quale si ha l'interazione solo se lo spettro del campo ha componente a frequenza corrispondente all'energia pari al salto tra livelli coinvolti (positivo=assorbimento, negativo=emissione), che si puo' interpretare come conservazione dell'energia. Questo formalizza di fatto la grande intuizione di uno dei postulati di Bohr: un campo esterno puo' cedere energia all'atomo (assorbimento) oppure acquisirla (emissione) con la stessa probabilita'.