Lez #5 Struttura Fine

 Abbiamo discusso la presenza di effetti relativistici aggiuntivi rispetto all'equazione di Shrodinger che possono essere trattati in via perturbativa. In particolare abbiamo ricavato un termine come sviluppo dell'espressione relativistica per il contributo cinetico all'Hamiltoniana, e uno classicamente come accoppiamento tra il momento magnetico associato allo spin semintero dell'elettrone e il campo magnetico generato dal moto relativo delle cariche elettrone-nucleo (accoppiamento spin-orbita, c'e' un problema di fattori 2 (spin) e precessione (1/2) che classicamente non spiegabili ma che si compensano). La derivazione rigorosa del terzo termine (Darwin) non e' ovvia, per una interpretazione euristica si veda la tesina suggerita.

Abbiamo quindi applicato la teoria delle perturbazioni degeneri (l'energia dell'H imperturbata dipende solo da n, le autofunzioni da tre numeri quantici). In definitiva per relativistico e Darwin sono non nulli solo i termini non-diagonali. Le dipendenze spaziali delle perturbazioni non toccano infatti le armoniche sferiche, la cui ortogonalità annulla appunto i termini non diagonali. I contributi relativistico p^4 e Darwin, risultano dipendere da n ed l (quest'ultimo e' non nullo solo per l=0, unico caso in cui e' ammessa densita' di probabilita' non nulla nell'origine). Lo SO ha una parte spaziale dipendente da n ed l, ma LS mischia gli stati "adatti" a diagonalizzare l'Hamiltoniana imperturbata (Shrodinger). Di conseguenza per la correzione totale buoni numeri quantici sono il momento angolare totale J, la sua proiezione Jz, L ed S, MA NON LE LORO PROIEZIONI Lz ed Sz.

Tutti i passaggi sono nelle dispense. Suggerisco inoltre di guardare questa dissertzione per l'introduzione del termine di Darwin e per il confronto finale tra la soluzione dell'equazione di Dirac, il suo svilupo di Taylor e la soluzione con correzioni perturbative all'equazione di Shrodinger.