Lez #8: Interazione radiazione materia II

 Abbiamo richiamato l'espressione per il b-esimo coefficiente dipendente dal tempo ottenuta la scorsa lezione. L'abbiamo applicata al caso di un potenziale vettore policromatico (integrale sulle frequenze), ragionando sul caso di una somma finita (quindi potenziale periodico, serie di Fourier) ottenendo (modulo quadro) l'espressione della probabilita' di transizione e dell'elemento di matrice coinvolto. Un primo importante risultato e' che l'integrazione in tempo porta alla condizione (delta di Dirac) secondo la quale si ha l'interazione solo se lo spettro del campo ha componente a frequenza corrispondente all'energia pari al salto tra livelli coinvolti (positivo=assorbimento, negativo=emissione), che si puo' interpretare come conservazione dell'energia. Questo formalizza di fatto la grande intuizione di uno dei postulati di Bohr: un campo esterno puo' cedere energia all'atomo (assorbimento) oppure acquisirla (emissione) con la stessa probabilita'. 

Attenzione al passaggio della doppia integrazione in omega, abbiamo discusso i problemi del Bransden/dispense (dimensioni, ipotesi non necessaria delle fasi random), fate riferimento alle slides trattando il caso della doppia somma. 

Abbiamo infine visto l'approssimazione di dipolo.

Lez #6+7 Spin orbita e recap struttura fine. Interazione radiazione materia I

Abbiamo ricavato la correzione SO classicamente come interazione tra il campo generato dalla rotazione relativa del protone intorno al nucleo e momento magnetico intrinseco dell'elettrone. Con questa derivazione ci sono due fattori due che non vengono catturati classicamente ma che si compensano: il fattore giromagnetico dell'elettrone e un due nel calcolo dell'energia magnetica. La correzione ha una parte spaziale dipendente da n ed l, ma il termine LS mischia gli stati "adatti" a diagonalizzare l'Hamiltoniana imperturbata (Shrodinger). Di conseguenza per la correzione totale buoni numeri quantici sono il momento angolare totale J, la sua proiezione Jz, L ed S, MA NON LE LORO PROIEZIONI Lz ed Sz. Abbiamo infine riassunto l'impatto della struttura fine sui livelli dell'idrogeno, con particolare riguardo alla modifica della degenerazione.

Due chiarimenti:

1. Le curve utilizzate per rappresentare la parte angolare della probabilità elettronica per uno stato con un certo n,m,l sono definite in modo che la distanza di un certo punto dal centro sia proporzionale alla probabilità stessa (il valore esatto si ottiene poi moltiplicando per la parte radiale (rR)^2

2. La degenerazione del livello n=2 e' pari ad 8. Calcolandola attraverso il numero quantico J si ha 4 per j=3/2 (1 stato) e 2 per j=1/2 (2 stati, ovvero s_1/2 e p_1/2). Si ottiene proprio 1x4 + 2x2 = 8

Siamo quindi passati alla formalizzazione dell'interazione radiazione materia. Partendo dalle equazioni di Maxwell abbiamo richiamato la soluzione per il potenziale vettore nella gauge di Coulomb. Abbiamo quindi richiamato la lagrangiana in presenza di A e la corrispondente hamiltoniana (NB la divergenza nulla del vettore (classico) A permette di riscrivere i due termini cross in un unico termine, si dimostra applicando l'operatore (quantistico) gradiente al vettore A moltiplicato per la generica fuzione d'onda. Considerando anche A come operatore questo implica che p ed A commutano). Esercitatevi a verificare che la lagrangiana fornita sia effettivamente quella giusta (risolvendo le eq. di Eulero dovete trovare la corretta espressione della forza in campo elettromagnetico, fatto sulle dispense) e a ricavare la corrispondente hamiltoniana. Attenzione al legame tra l'operatore p, il gradiente, e il corrispondente momento classico mv. 

La prima approssimazione consiste nel trascurare i termini quadratici nel potenziale vettore nell'hamiltoniana. 

Abbiamo quindi applicato la teoria perturbativa dipendente dal tempo al primo ordine. Utilizzando come base completa quella degli autostati di H_0 e ipotizzando di trovarci nel ground state prima dell'arrivo della perturbazione, si ottiene una espressione in forma differenziale per i coefficienti degli altri livelli sui quali il sistema si distribuisce nel tempo. 

Lez #4+5 Equazione di Shroedinger: struttura della autofunzioni. La struttura fine

 Abbiamo richiamato la struttura delle autofunzioni e visto come la probabilita' (proporzionale alla densita' di carica elettronica) sia legata alla funzione d'onda: dal punto di vista radiale non basta quadrare la parte corrispondente dell'autofunzione ma va considerato un fattore r^2 nel passaggio da dV a dr quando si integra sull'angolo solido.

Abbiamo visto la forma delle armoniche sferiche e come queste siano in generale complesse. Per un certo autovalore energetico e' possibile ricombinarle in forma reale. Per un dato valore di l la simmetria sferica del problema si ritrova sommando le densita' di probabilita' su tutti gli m.

Attenzione ai nodi della parte radiale, armoniche sferiche e ortogonalita' delle funzioni d'onda. Per la parte angolare abbiamo visto possibili rappresentazioni grafiche: una possibilità e' guardare il modulo quadro dell'armonica sferica, per cui scompare la parte angolare in phi e resta solo una funzione di theta rappresentabile come curva su un piano la cui distanza dal centro è proporzionale alla densità di probabilità elettronica. Un'altra possibilita' è rappresentare l'armonica sferica vera e propria (quindi una quantità complessa) attraverso una curva di livello (sul piano della lavagna) per il modulo e poi il valore della fase mediante un colore al variare di phi. 

Abbiamo quindi discusso la presenza di effetti relativistici aggiuntivi rispetto all'equazione di Shrodinger che possono essere trattati in via perturbativa. In particolare abbiamo ricavato: 

• un termine come sviluppo dell'espressione relativistica per il contributo cinetico all'Hamiltoniana. C'e' degenerazione quindi andrebbero valutati tutti gli elementi di matrice con stesso n (questo chiarisce il dubbio sollevato da una studentessa a fine lezione) e diversi l e m ma poichè la perturbazione dipende solo da r non riguarda le armoniche sferiche e la loro ortogonalità riduce il calcolo ai soli termini diagonali (insomma la perturbazione è diagonale).  La correzione rimuove la degenerazione su l ed e' sempre negativa. 
• Abbiamo introdotto il termine di Darwin, osservando come in modo euristico sia riconducibile alla non località del potenziale, ovvero all'integrazione del potenziale sulla dimensione finita dell'elettrone (vedere qui). La correzione riguarda solo gli stati con funzione d'onda non nulla nell'origine (quindi quelli senza potenziale centrifugo, ovvero l=0) ed è sempre positiva (alza i livelli s)

Tutti i passaggi per il calcolo degli integrali 1/r e 1/r^2 sono nelle dispense. Suggerisco inoltre di guardare questa dissertzione per l'introduzione del termine di Darwin e per il confronto finale tra la soluzione dell'equazione di Dirac, il suo svilupo di Taylor e la soluzione con correzioni perturbative all'equazione di Shrodinger.